Question

设f(X)是定义在x属于r且x不等于0上的奇函数,则当x大于0时,f(x)=x比1-2的x次方 （1）写出x小于0时，f（x）

过程详细点
的解析式；（2）解不等式f（x）小于负三分之x

Answer 1

f(x)=x/(1-2^x)
设x<0,则-x>0那么有：
f(-x)=(-x)/(1-2^(-x))=(x*2^x)/(1-2^x)
f(x)是奇函数，=>f(x)=-f(-x)
=>f(x)=-f(-x)=(x*2^x)/(2^x-1)
因此对于x<0,
f(x)=(x*2^x)/(2^x-1)

(2)
f(x)<-x/3
(i)x>0时
f(x)=x/(1-2^x)<-x/3
=>x/(1-2^x)+x/3<0
=>(3+1-2^x)/(1-2^x)<0
=>(4-2^x)*(1-2^x)<0
=>0<x<2 (a)

(ii)x<0时
f(x)=(x*2^x)/(2^x-1)<-x/3
=>(x*2^x)/(2^x-1)+x/3<0
=>(3x*2^x+x*2^x-x)/(3*2^x-3)<0
=>3x*(4*2^x-1)(2^x-1)<0
因为x<0,2^x-1<0
=>4*2^x-1<0
=>2^x<1/4=2^(-2)
=>x<-2 (b)

综合（a)(b)=>
0<x<2或x<-2,x∈（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 2

(1)f(x)=x/(1-2^x)
设x<0,则-x>0
∵f(x)是奇函数，∴f(x)=-f(-x)=(-x)/(1-2^(-x))=(x*2^x)/(1-2^x)
∴对于x<0时,f(x)=(x*2^x)/(1-2^x)
(2) f(x)<-x/3
当x>0时
∵f(x)=x/(1-2^x)<-x/3,∴3x>x*2^x-x, ∴x(4-2^x)>0,∴4-2^x>0,∴0<x<2
当x<0时
∵f(x)=(x*2^x)/(1-2^x)<-x/3
∴(x*2^x)/(1-2^x)+x/3<0
∴(3x*2^x+x-x*2^x)/(3-3*2^x)<0
∴x*(2*2^x+1)/(1-2^x)<0 (i)
∵x<0,∴2*2^x+1>0，1-2^x>0,∴由（i）解得x<0。
综上知f(x)<-x/3
的解集是x∈（-∞，0）∪（0,2）

Answer 3

解：

(1)∵f(x)是定义在x属于r且x不等于0上的奇函数
∴x≠0时，f(-x)=-f(x)
又∵当x<0时，-x>0
∴f(-x)=-x/[1-2^(-x)]
∴f(x)=-f(-x)=x/[1-2^(-x)]=x*2^x/(2^x-1)

(2)f(x)<-x/3
a. 当x>0时
f(x)=x/(1-2^x)<-x/3
1/(1-2^x)<-1/3
∵1-2^x<0
∴2^x-1<3
∴0<x<2

b.当x<0时
f(x)=x*2^x/(2^x-1)<-x/3
即2^x/(2^x-1)>-1/3
∵2^x-1<0
∴3*2^x<1-2^x
2^x<1/4
∴x<-2

故不等式的解为x<-2或0<x<2