Question

设函数f(x)=-a乘以根号下（x^2+a）+x+a,x属于(0,1],a>0 若FX在（0，1）上是增函数，A的取值和FX的最大值

负a乘以根号下（x^2+a）是一个整体。 后面的不上一起的

Answer 1

f(x)=-a*√(x²+a)+x+a，x∈(0,1]，a>0

f(x)在x∈(0,1]是增函数，求a的取值和f(x)的最大值

解：

对x求导，得

f'(x)

=-a*(2x)/√(x²+a)+1

=-2ax/√(x²+a)+1

=-2a/√[1+a/x²]+1

由题意，知

x∈(0,1]时，f'(x)恒为正

x²∈(0,1]

∵a>0

∴1+a/x²∈[a+1,+∞)

∴a/√[1+a/x²]∈(0,a/√(1+a)]

∴f'(x)∈[1-2a/√(1+a),1)

∴1-2a/√(1+a)≥0

∴2a≤√(1+a)

4a²-a-1≤0

∴a∈(0，(1+√17)/8]

f(x)在x∈(0,1)都是增函数，定义域是(0,1]

∴f(x)在f(1)处取得最大值

f(1)=-a*√(1+a)+1+a

令√(1+a)=t，则a=t²-1，t∈(1，(1+√17)/4]

则f(1)=-(t²-1)t+t²=-t(t²-t-1)

f(1)=-t³+t²+t

f'(1)=-3t²+2t+1=(3t+1)(-t+1)

∴在t∈(1，(1+√17)/4]范围内，f'(1)恒小于0，即f(1)在此范围递减

∴f(1)在t=1处取得最大值，即最大值为1