Question

已知函数f(x)=ax2+1/bx+c(a,b,c属于R)是奇函数，又f(1)=2,f(2)=3.证明：当x>根号2/2时，f(x)为增函数

Answer 1

f(x)=(ax^2+1)/(bx+c),其定义域是使分母不为零的区间.

①c≠0时,函数定义域是{x|bx+c≠0},在x=0这一点有意义的奇函数必定满足f(0)=1/c=0.这与事实矛盾,此情况不成立.

②c=0时,f(x)=(ax^2+1)/(bx),

f(1)=(a+1)/b=2

f(2)=(4a+1)/(2b)=3

a=2,b=3/2.

我用Mathematica解的，有兴趣的话，自己可以装个，下面是解方程的代码：

Solve[{(a+1)/b==2,(4a+1)/(2b)==3},{a,b}]

f(x)=(4x^2+2)/(3x)=2/(3x)+(4x)/3

其导函数为f'(x)=4/3-2/(3x^2).当x>sqr(2)/2时,导函数大于0恒成立,所以f(x)在该区间上是增函数.

可以直接根据定义证明其单调性，过程详见图片。