Question

已知函数f(x)=ax2+1/bx+c(a,b,c∈N）是奇函数,且f(1)=2,f(2)＜3，求：f(x）在[1，正无穷]上是增函数

Answer 1

证明：∵函数f(x)=﹙ax2+1﹚/﹙bx+c﹚(a,b,c∈N）是奇函数
∴f﹙﹣x)=[a﹙-x﹚²+1]/[b﹙﹣x﹚+c]≡﹣f(x)=﹣﹙ax2＋1﹚/﹙bx＋c﹚
即﹙ax²＋1﹚/﹙﹣bx+c﹚≡﹙ax²＋1﹚/﹙﹣bx－c﹚
∴,c=-c
∴c=0
即f(x)=﹙ax2+1﹚/﹙bx﹚
∵f(1)=2,
∴﹙a＋1﹚/b=2,
∴a+1=2b
f(2)＜3
∴﹙4a＋1﹚/﹙2b﹚＜3,
4a＋1＜6b=3a＋3
∴a＜2
∵a∈N
∴a=1或0
但a=0时，由a+1=2b得b=½，与b∈N矛盾
∴a=1

追问

（ax2+1)/(bx+c)

追答

∴b=1
即f(x)=﹙x2+1﹚/x
它是双钩函数，可以用定义证明

追问

双钩函数是增还是减啊？

追答

在﹙﹣∞，﹣1]和[1，﹢∞﹚递增
在[-1,0﹚和﹙0,1]递减