Question

矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O，AB=4,BC=3,取线段AB上一点P,过点P作AC的平行线交BC于E，联结EO

矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O，AB=4,BC=3,取线段AB上一点P,过点P作AC的平行线交BC于E，联结EO，并延长交AD于F，联结PF.
1.求证：PF//BD
2.设AP的长为x，△PEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出他的定义域

Answer 1

1、证明：嫌和拿

∵PE‖AC

∴AP:PB=CE:EB

∵AO=CO，∠OAF=∠OCE，∠AOF=∠COE

∴△AOF≌△COE

∴CE=AF

又∵BC=AD

∴CE:EB=AF:AD

即AP:PB=AF:FD

∴PF‖BD

2、容易知道，0<x<AB=4

根据图形特点知道，四边形AFEB的面积是整个矩形面积的一芹搭半，即4*3/2=6

AP=x，BP=4-x，

根据AP:PB=CE:EB，得

x:(4-x)=BE:(3-BE)

∴BE=(3/4)x，AF=CE=3-(3/4)x

∴S△APF=½*[3x-(3/4)x²]=(3/2)x-(3/8)x²

S△PBE=½*[3x-(3/4)x²]=(3/棚庆2)x-(3/8)x²

∴S△PEF=6-S△APF-S△PBE

=6-3x+(3/4)x²

∴y=(3/4)x²-3x+6，x∈(0,4)