Question

函数f(x)=(ax+b)/(x²+1)是定义在(-∞, ∞)上的奇函数,且f(1/2)=2/5

,f(0)=0 求f(x)最值

Answer 1

函数是奇函数，f(-x)=-f(x)
[a(-x)+b]/[(-x)²+1]=-(ax+b)/(x²+1)
(-ax+b)/(x²+1)=(-ax-b)/(x²+1)
-ax+b=-ax-b
2b=0
b=0
f(x)=ax/(x²+1)
x=0时，f(x)=0/(0+1)=0，满足已知条件
f(1/2)=2/5
(1/2)a/[(1/2)²+1]=2/5
解得a=1
f(x)=x/(x²+1)
令y=f(x)=x/(x²+1)
yx²-x+y=0
y=0时，x=0，方程有解
y≠0时，方程为一元二次方程，要方程有实根，判别式≥0
1-4y²≥0
y²≤1/4
-1/2≤y≤1/2，又y≠0，因此-1/2≤y≤1/2且y≠0
综上，得-1/2≤y≤1/2
函数的最大值是1/2，最小值是-1/2