Question

数学的几个问题！【代数的】

1.已知a,b,c,d都是正整数，且a^3=b^2,c^2=d,d-a=5,求b-c的值
2.设n是正整数，求证：73|(8^(n+2)+9^(2n+1))
3.已知a,n为正整数，求证：a^(4n+k)与a^k (k=1,2,3,4）的个位数相同

今天下午再来看！

Answer 1

1,a^3=b^2,知a为完全平方数，a=t^2,d=a+5,代入才c^2-d=0.为c^2-t^2=5,等价余（c-t)(c+t)=5,c-t=1,c+t=5,由此求出a=4,c=3,b=8,b-c=5.
2,"="表示三横线的同余号，等价于8^(n+2)+9^(2n+1)=0(mod73),事实上，
8^(n+2)+9^(2n+1)=64*8^n+9*81^n=64*8^n+9*8^n=73*8^n=0(mod73);
3,同余号定义同上，等价于a^k(a^(4n)-1)=0(mod10)；又因为
a^1(a^(4n)-1)|a^k(a^(4n)-1),所以只需证明a(a^(4n)-1)=0(mod10);
当a=0,(mod10);a^(4n)-1=0,(mod10);a(a^(4n)-1)=0(mod10);成立
当a=1,(mod10);a^(4n)-1=0,(mod10);a(a^(4n)-1)=0(mod10);成立
当a=2,(mod10);a^(4n)-1=5,(mod10);a(a^(4n)-1)=10=0(mod10);成立
当a=3,(mod10);a^(4n)-1=0,(mod10);a(a^(4n)-1)=0(mod10);成立
当a=4,(mod10);a^(4n)-1=5,(mod10);a(a^(4n)-1)=20=0(mod10);成立
当a=5,(mod10);a^(4n)-1=4,(mod10);a(a^(4n)-1)=20=0(mod10);成立
当a=6,(mod10);a^(4n)-1=5,(mod10);a(a^(4n)-1)=30=0(mod10);成立
当a=7,(mod10);a^(4n)-1=0,(mod10);a(a^(4n)-1)=0(mod10);成立
当a=8,(mod10);a^(4n)-1=5,(mod10);a(a^(4n)-1)=40=0(mod10);成立
当a=9,(mod10);a^(4n)-1=0,(mod10);a(a^(4n)-1)=0(mod10);成立

Answer 2

1 a^3=b^2,即a^(1/2)=b^(1/3)
∵a,b都是正整数，∴a是完全平方数，b是完全3次方数
d-a=c^2-[b^(1/3)]^2=5
[c+b^(1/3)][c-b^(1/3)]=5=5*1
所以c+b^(1/3)=5
c-b^(1/3)=1
c=3,b=8
b-c=8-3=5

8^(n+2)+9^(2n+1)=8^(n+2)+9*8^n+9^(2n+1)-9*8^n
=8^n(64+9)+9(81^n-8^n)
=73*8^n+9(81^n-8^n)
81^n-8^n==8^n-8^n(mod 73)==0(mod73)
所以
73|（73*8^n+9*(81^n-8^n))
即73|(8^(n+2)+9^(2n+1))

3只需要证明10|a^(4n+k)-a^k
a^(4n+k)-a^k
=a^k(a^4n-1)
显然a^k,a^4n-1具有不同奇偶性
即2|a^(4n+k)-a^k
下面证明5|a^k(a^4n-1)
1)若5|a，则上式成立
2）若（5,a)=1
根据费马小定理 a^4==1(mod5)
a^4n-1=(a^4)^n-1==1^n-1(mod5)=0(mod5)
故上式能被5整除
即10|a^(4n+k)-a^k