Question

一道微积分数学题

求由曲线y=x2次方-1，y=0，所围图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。

大家能给个解题步骤和坐标图形
大家回答的好像超出我们的范围了，都是用f d x π 这些字母来解题的，我贴个图举个例子大家看看，这个也是求所围图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。

Answer 1

题目貌似比较基础- -|||

首先因为旋转之后的几何体关于面yOz对称，所以我们只需计算出x>0的那部分体积就行了

二次函数交x轴于（1，0），（-1，0）两点。

在面xOy上的曲面上取一点（x,y）,则y=x^2-1,可看作是用间距为dx的垂直于x轴的面去截几何体，截出来的部分在dx无限接近于0的时候可看做是圆柱体，半径为y，高度为dx，则dv=pi*y^2*dx.

前面说过了我们只需计算出x>0的那部分体积就行了，总的体积等于该部分体积的两倍，所以V=2∫（下限是0，上限是1）dv=2∫（下限是0，上限是1）pi*y^2*dx=2∫（下限是0，上限是1）pi*（x^2-1）^2*dx=2pi*(x^5/5-2x^3/3+x)|（上限是1，下限是0）=16/15*pi

Answer 2

x^2-1=0
x=+ -1

体积=积分(上限1，下限0)2*pi*x(1-x^2)dx
=2*pi[x^2/2 -x^4/4] |(上限1，下限0)
=2*pi(1/2 -1/4)
=pi/2

Answer 3

将旋转体用平行于y轴的截面截成无数小份，每小份看成圆柱体，半径为r，高为dx，圆周率用p表示
r=-（x^2-1）=1-x^2
dv=p*r^2*dx=(px^4-2px^2+p)dx
v=积分符号，下限-1，上限1，被积函数(px^4-2px^2+p)dx
=(16/15)p