Question

求过直线x-2y+4=0和圆x^2+y^2+2x-4y+1=0的交点，且过原点的圆的方程

Answer 1

该题方法很巧妙，用到了圆系

过直线与圆的交点
该圆可表示为x^2+y^2+2x-4y+1+k(x-2y+4)=0
(说明，该式为二次，必然是圆，当x,y取交点坐标值时，该式必然成立，所以该式所表示的圆必过两交点)
带入圆点坐标(0,0)
1+4k=0
k=-1/4
代回原式
该圆为
x^2+y^2+2x-4y+1-0.25x+0.5y-1=0
即x^2+y^2+1.75x-3.5y=0
化为标准方程
(x+7/8)^+(y-7/4)^=245/64

Answer 2

圆系方程
设过直线x-2y+4=0和圆x^2+y^2+2x-4y+1=0的交点 的圆系方程式
x^2+y^2+2x-4y+1+k（x-2y+4）=0
根据圆过原点
代入（0,0）得到
1+4k=0
k=-1/4
所以圆方程式
x^2+y^2+2x-4y+1-1/4（x-2y+4）=0

4（x^2+y^2+2x-4y+1）-（x-2y+4）=0
4x^2+4y^2+7x-14y=0