Y=sinxcosx/(1+sinx+cosx)的值域 (过程)

zybtony
2010-08-27 · TA获得超过1.3万个赞
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方法一:
设tanx/2=t(后面写起来方便)
原式=[2t/(1+t^2)]*[(1-t^2)/(1+t^2)]/[1+2t/(1+t^2)+(1-t^2)/(1+t^2)/
=2t(1-t^2)/(2t+2) 约分,注意约掉的2*(1+t)≠0,即t≠-1
=(-t^2+t)/(t^2+1) (t≠-1)
=(t+1)/(t^2+1)-1 (t≠-1)
=1/[(t+1)+2/(t+1)-2]-1
分母可以把t+1看成一个变量y,y∈(-∞,0)∪(0,+∞),是个NIKE函数(或钩函数)
求出其范围2(-∞,-2-2√2]∪[-2+2√2,+∞),再求倒数范围,最后-1
答案是 值域为[-(1+√2)/2,-1)∪(-1,(√2-1)/2]

方法二:
假设sinx+cosx=√2sin(x+45)=t
-√2<=t<=√2
y=(sinxcosx)/(1+sinx+cosx)
=1/2[(cosx+sinx)^2-1]/(1+sinx+cosx)
=1/2(t^2-1)/(1+t)
=1/2t-1/2,t≠-1
-(√2+1)/2<=y<=(√2-1)/2且y≠-1

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北京羿射旭科技有限公司
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