讨论函数f(x)=2/（x+1）的单调性，并求出当x属于[0,5]时，函数f(x)的值域
【答案】：f(x)=2/（x+1）是单调减函数，定义域(-∞,1)∪(1,+∞)。x∈[0,5]时，f(x)是减函数,值域[1/3,2]
证明“f(x)=2/（x+1）是单调减函数”的写法：
【方法一】：在定义域(-∞,1)∪(1,+∞)的(-∞,1)或(1,+∞)内，取任意值x1,x2,其中x2>x1,有:
f(x2)-f(x1)=2/(x2+1)-2/(x1+1)=2[(x1+1-x2-1)]/[(x2+1)(x1+1)]=2(x1-x2)/ [(x2+1)(x1+1)]
当x2>x1>1时, (x2+1)(x1+1)>0,x1-x2<0, ∴f(x2)-f(x1)<0,所以f(x)是减函数；
当1>x2>x1>-1时, (x2+1)(x1+1)>0,x1-x2<0, ∴f(x2)-f(x1)<0,所以f(x)是减函数；
当-1>x2>x1时, (x2+1)(x1+1)>0,x1-x2<0, ∴f(x2)-f(x1)<0,所以f(x)是减函数；
当x2>1,-1<x1<1时, (x2+1)(x1+1)>0,x1-x2<0, ∴f(x2)-f(x1)<0,所以f(x)是减函数；
当x2>1,x1<-1时, 因定义域是(-∞,1)∪(1,+∞)，即x≠1，而x2>1,x1<-1“跨越”了“-1”，因此“x2>1,x1<-1时”的情况不是“函数单调性”要讨论的情况=与函数单调性无关（见单调性定义：对于定义域内的某个区间…。注意：单调性是强调定义域内的“某个区间”）。
所以f(x) 在定义域(-∞,1)∪(1,+∞)内是减函数；
【方法二】：
设t=x+1，g(t)=2/t，
∵f(x)=2/(x+1)与g(t)=2/t单调性是一致的
又∵g(t)=2/t是单调减函数
∴f(x)=2/(x+1) 是单调减函数
【通俗语言】证明f(x)=2/（x+1）：
设t=x+1，y=2/t
x增大t增大y减少
∵y=2/t=2/(x+1)= f(x)
∴x增大，f(x) 减少。
定义域就是使f(x)有意义的x的取值范围
所以x=-1是其渐近线，这个函数与反比例函数类似，可直接写出单调性
在（负无穷，-1）是减函数，在（-1，正无穷）也是减函数。
∵在（-1，正无穷）是减函数
∴x=0时有最大值，f（0）=2
x=5时有最小值，f（5）=1/3
∴值域是[1/3,2].
