Question

已知向量a=(cosx,1),b=(-cosx,1)，且x属于[0,π/2]

已知向量a=(cosx,1),b=(-cosx,1)，且x属于[0,π/2]，若函数f(x)=(sinx)^2+k|a-b|的最大值为3/2，求k的值

Answer 1

向量a-向量b=（2cosx,0）
加绝对值表示求它的模
|a-b|=√[(2cosx)²]=|2cosx|
因为x∈[0,π/2]
所以0≤cosx≤1
|2cosx|=2cosx
f(x)=(sinx)²+2kcosx
f(x)=1-(cosx)²+2kcosx
换元法，设a =cosx ∈[0,1]

f(x)=1-a²+2ka
配方得
f(x)=-(a-k)²+k²+1 a∈[0,1]
对称轴为a=k
然后分情况讨论
①k<0
根据图像可知
当a=0时
取得最大值f(0)=1
不合题意

②0≤k≤1

由图像可知
当a=k时取得最大值k²+1
k²+1=3/2
k=±√2/2
因为0≤k≤1
所以k=√2/2
③k>1
由图像可知
当a=1时取得最大值f(1)=-(1-k)²+k²+1=2k
2k=3/2
k=3/4
因为k>1
所以3/4不合题意

综上所述k=√2/2