Question

设为曲面z=1+ √(1-x^2-y^2)的上侧,求I=xdydz+ydxdz+zdxdy

Answer 1

记积分曲面之椭球面为∑，
在∑内添做一个小球面∑1：xx+yy+zz=aa，取内侧，
将在∑与∑1围成的空间区域D上用高斯公式。

原式=∫∫〔∑〕…+∫∫〔∑1〕…-∫∫〔∑1〕…
=∫∫∫〔D〕0dv-∫∫〔∑1〕…
=-∫∫〔∑1〕…
=+∫∫〔∑1取外侧〕…
=∫∫〔∑1外侧之上半球面〕zdxdy/aaa+∫∫〔∑1外侧之下半球面〕zdxdy/aaa①
+∫∫〔∑1外侧之前半球面〕xdydz/aaa+∫∫〔∑1外侧之后半球面〕xdydz/aaa②
+∫∫∫〔∑1外侧之右半球面〕ydxdz/aaa+∫∫〔∑1外侧之左半球面〕ydxdz/aaa③

上式共3行①②③，以下计算其中的第一行①，
另两行②③的计算方法类似结果相同。

有①=2∫∫〔∑1外侧之上半球面〕zdxdy/aaa
=2∫∫〔上述曲面在xoy面的投影域D1：xx+yy《aa上〕√aa-xx-yydxdy/aaa
用极坐标计算上述二重积分得到
=2∫〔0到2π〕dt∫〔0到a〕r*√aa-rrdr/aaa
=2*2π*(1/3)
=4π/3。

于是得到本题结果=4π。