Question

∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy,其中曲面为x^2+y^2+z^2=1的上半部分外侧

Answer 1

补平面Σ1：z=0，x²+y²≤1，下侧，则该平面与原来曲面构成封闭曲面，可以用高斯公式
∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy
=2∫∫∫(x+y+z)dxdyz
由于积分区域关于xoy面和xoz面对称，因此x，y的积分均为0，被积函数只剩下z
=2∫∫∫ z dxdyz
用截面法
=2∫[0→1] z dz∫∫ 1 dxdy 其中二重积分的积分区域为：x²+y²≤1-z²，该区域面积：π(1-z²)
=2π∫[0→1] z(1-z²) dz
=π(z²-(2/4)z³) |[0→1]
=π/2

然后将Σ1上的积分减去
∫∫(Σ1) x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=0

因此原积分=π/2-0=π/2

Answer 2

Pi/2