Question

定义[ a,b,c]为函数y=ax2+bx+c 的特征数, 下面给出特征数为 [2m，1 – m , –1– m] 的函数

下面给出特征数为 [2m，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论：
① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是( ， )；
② 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ；
③ 当m < 0时，函数在x > 时，y随x的增大而减小；
④ 当m  0时，函数图象经过同一个点.
其中正确的结论有（ B ）
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④

Answer 1

1）m=-3
y=-6x^2+4x+2=-6(x-1/3)^2+8/3
顶点（1/3,8/3）

2)y=2mx^2+(1-m)x-(1+m)=0
x1+x2=(m-1)/2m
x1x2=-(m+1)/2m
|x1-x2|=√(〖( (m-1)/2m)〗^2+(4(m+1))/2m)
=(3m+1)/2m=3/2+1/(2m)>3/2

4)m=0时 y=x-1 过同一点

Answer 2

因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1-m，-1-m]；
①当m=-3时，y=-6x2+4x+2=-6（x-
1
3
）2+
8
3
，顶点坐标是（
1
3
，
8
3
）；此结论正确；
②当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1-m）x+（-1-m）=0，解得x=
(m-1)±(3m+1)
4m
，x1=1，x2=-
1
2
-
1
2m
，
|x2-x1|=
3
2
+
1
2m
＞
3
2
，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
3
2
，此结论正确；
③当m＜0时，y=2mx2+（1-m）x+（-1-m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：
m-1
4m
，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，
m-1
4m
=
1
4
-
1
4m
＞
1
4
，即对称轴在x=
1
4
右边，因此函数在x=
1
4
右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④当x=1时，y=2mx2+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．
故答案为：①②④．