Question

已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/2)=1，对于x，y∈(0,+∞),

已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/2)=1，对于x，y∈(0,+∞),当且仅当x＞y时，f(x)＜f(y).
（1）求f(1).
（2）若f(2)+f(3-x)≥-2,求x的取值范围。

Answer 1

（1）f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=1得f(1)= f(1)+f(1) f(1)=0
（2）f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=1/2得f(1/4)=f(1/2)+ f(1/2)=2
再令x=2,y=1/2得：f(1) = f(2) + f(1/2) f(2)= -1
f(2)+f(3-x)≥-2可化为 -1+f(3-x)≥-2 即f(3-x)≥-1= f(2)
∵对于x，y∈(0,+∞),当且仅当x＞y时，f(x)＜f(y).
∴0<3-x≤2 解得 1≤x<3

Answer 2

0
1≤x<3