Question

高一数学对称性问题

当f(x+a)=f(-x+a)时，为什么对称轴是X=a？怎样证明？

Answer 1

设一点为（x1，y1），则这个点关于x=a对称的点为（2a-x1，y1）
又f(x+a)=f(-x+a），用t替换x+a，即t=x+a，x=t-a
即f（t）=f（-t+2a）
所以f（x1）=f（2a-x1）
所以对于任意点f（x）都关于x=a对称，所以对称轴为x=a

Answer 2

在函数y=f(x)的图象上任取一点P(x0，y0)，
则y0=f(x0).
∵f(x+a)=f(-x+a)
∴f(x0)=f(a-(a-x0))= f(a+(a-x0))=f(2a-x0)
∴f(2a-x0)=y0，即点Q（2a-x0，y0）也在函数的图象上，
而点P(x0，y0)与点Q（2a-x0，y0）关于直线x=a对称，
所以，函数f(x)的图象上任意一点关于直线x=a的对称点也总在函数图象上，
因此，当f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)时，函数f(x)的图象关于直线x=a对称.

Answer 3

令a=0,则f(x)=f(-x)，所以该函数为偶函数
偶函数是关于y轴对称的
这里括号里面取x+a和-x+a的函数值相等，你想像一下二次函数的图像，不难得出x=a就是函数的对称轴

Answer 4

x+a 和 -x+a 离直线x=a 的距离相等 均为x
而他们的函数值相等f(x+a)=f(-x+a) 所以他们的对称轴是x=a

Answer 5

因为f(x）和f(-x）关于Y轴即(X=0)对称，f(x+a)和f(-x+a)是把f(x）和f(-x）向同一个方向移动了a个单位长度，所以对称轴就相应移了a个单位，证明的话你只要设个点代入就能证出来了。

Answer 6

先令X=（X-a),f(x)=f(2a-x),对称轴就是x=[x+(2a-x)]/2