Question

关于过抛物线上某点的切线方程的问题！

教参上看到关于抛物线的切线方程的两句话。都是给定一个抛物线上的切点，然后得到切线方程。但是：

这里是给定切点（x0,y0）那么切线方程为y0y=p(x+x0) 假设这个命题是推论1
第一个问题：请给与证明
第二个问题：中点弦是什么东东阿？
再看这里：

这里A、B都是切点，即给定切点(x1,y1),则切线方程是：y-y1=x1/p(x-x1)
问题三：为什么可以这么写？（必要时给与证明）
问题四：这与推论1矛盾吗？
问题五：这两句话可以当做结论来记吗？

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Answer 1

1. 对抛物线方程关于x求导  yy'=p，（用了隐函数求导），即y'=p/y

   切线方程：y-y0=y'(x-x0)  即 y-yo=p/y*(x-x0) 化简 即得y0y=p(x+x0)

2. 切点弦方程： 切点的导数斜率=两点连线的斜率

                          y'=(y-yo)/(x-x0)

                     带入y'=y/p，化简得 y0y=p(x+x0)

3. 对于给定点P和给定的抛物线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为抛物线C上过P点的中点弦，P为AB中点。

   证明：只需要证明中点弦 的斜率也是p/y即可，其余过程同上

          设弦AB所在直线x-x0=m(y-y0) 此处m是斜率的倒数，设m是为了避免讨论斜率不存在的情况。  代入抛物线方程 得到 y^2-2pmy+2pmy0-2px0=0

                                   中点 所以  y1+y2= 2pm=2y0

                                                  即 m=y0/p     1/m=p/y0  即证明 中点弦 的斜率也是p/y.

 

下面的具体问题

问题三： 当然可以这么写，此时导数求出的斜率是 y'=x/p

问题四：与推轮1不矛盾 ，方程不一样 原来是 y^2=2px  这个是 x^2=2py

问题五：可以当做结论记下来，不过记得区别方程类型

 

。。。问题好长~~

Answer 2

第一张图应该是在介绍三个定义，他们的定义方程的形式是一样的，但（x0,y0）并不是同一点，证明的话要根据导数慢慢算。重点弦也是一个知识点外的定义，你可以耐下心来根据定义画出来。第二张图，就没看清你的意思了，推论1是什么？