Question

讨论y=(1/2)^x^2-2x)的单调性和值域

Answer 1

答：
y=(1/2)^(x^2-2x)
设t=g(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1>=-1
所以：t>=-1
y=(1/2)^t<=(1/2)^(-1)=2
所以：0<y<=2
所以：y的值域为（0,2]

x<1时，g(x)是单调递减函数
x>1时，g(x)是单调递增函数
y=(1/2)^t是单调递减函数
根据复合函数的同增异减原则知道：
x<1时，y是单调递增函数
x>1时，y是单调递减函数

Answer 2

函数由
y=(1/2)^u，及u=x^2-2x复合而成
又
y=(1/2)^u
单调递减
而
u=x^2-2x=(x-1)^2-1
x<1递减
所以
函数y当x≤1时，递增；
同理
x≥1时，递减。
从而
最大值=(1/2)^(-1)=2
又y>0
所以
值域为（0,1】