一道高中数学向量题。

我需要一个总结,就是关于三角形内特殊一点的向量关系。比如说OA+OB+OC=零向量,那么这一点就是三角形的重心。这一类的比如说外心、内心、垂心等,这些又有哪些向量关系呢?... 我需要一个总结,就是关于三角形内特殊一点的向量关系。比如说OA+OB+OC=零向量,那么这一点就是三角形的重心。这一类的比如说外心、内心、垂心等,这些又有哪些向量关系呢?
可以发网址,也可以直接手打上来,但一定要有证明过程好吗。
各位老师、学长们如果能帮助我的话,感激不尽。
展开
 我来答
我用什么想起你
2014-02-01
知道答主
回答量:3
采纳率:0%
帮助的人:4.7万
展开全部
【一些结论】:以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积)
3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边)
4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²
(AP就表示AP向量 |AP|就是它的模)
5 AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ(AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ(AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞)
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

【以下是一些结论的有关证明】
1.
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性:
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,
延长CO交AB于D,根据向量加法得:
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得:
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,
所以只能有:ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知:DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线。

必要性:
已知O是三角形内心,
设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,
∵O是内心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M,
所以四边形OMAN是平行四边形
根据平行四边形法则,得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0

2.
已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
求P点轨迹过三角形的垂心

OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
OP-OA=入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
AP=入{(AB /|AB|^2*sin2B)+AC /(|AC|^2*sin2C)},
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|^2*sin2B)+AC•BC /(|AC|^2*sin2C)},
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|^2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*sin2C)},
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|^2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*2sinC cosC)},
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},
根据正弦定理得:|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0,
即AP•BC=0,
P点轨迹过三角形的垂心

3.
OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线
根据正弦定理:|AB|/sinC=|AC|/sinB,
所以|AB|sinB=|AC|sinC,
所以AP与AB+AC共线
AB+AC过BC中点D,所以P点的轨迹也过中点D,
∴点P过三角形重心。

4.
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0,
所以向量AP与向量BC垂直,
P点的轨迹过垂心。

5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量,
向量AB与AC的单位向量的和向量,
因为是单位向量,模长都相等,构成菱形,
向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线,
易知是角平分线,所以P点的轨迹经过内心。

三角形重心表达式: 向量OA+向量OB+向量OC=零向量
证明:设AD为三角形ABC中BC边的中线,O为三角形的重心
延长OD到E,使OD=DE,连结BE,CE
且有BD=DC,所以四边形BOCE为平行四边形
所以向量OB+向量OC=向量OE
o为重心,将AD分为2:1两部分,即AO=2OD=OE
综上向量OA=-向量OE=-(向量OB+向量OC)
即:向量OA+向量OB+向量OC=0
所以o是三角形的重心

O是三角形的垂心: 向量OA的平方+向量BC的平方=向量OB的平方+向量CA的平方=向量OC的平方+向量AB的平方
证明:向量OA平方+向量BC平方=向量OB平方+向量CA平方
即向量OA平方-向量OB平方=向量CA平方-向量BC平方
即(向量OA-向量OB)(向量OA+向量OB)=(向量CA-向量BC)(向量CA+向量BC)
即向量BA•(向量OA+向量OB)=(向量CA-向量BC)•向量BA
即向量BA•(向量OA-向量CA+向量OB+向量BC)=0
即2向量BA•向量OC=0
∴OC⊥AB
同理可证OA⊥CB,OB⊥AC。
所以O是三角形的垂心.
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式