Question

函数f(x)的定义域是R，对于任意实数x1,x2，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)

当x>0时，f(x)>0,且不等式f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0对所有θ恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

答：
因为：f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
所以：
f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)
=f (cos2θ-3+4m-2mcosθ)
>0

因为：x>0，f(x)>0
所以：
cos2θ-3+4m-2mcosθ>0对任意θ恒成立
2(cosθ)^2-1-3+4m-2mcosθ>0
(cosθ)^2-mcosθ+2m-2>0恒成立
(2-cosθ)m>2-(cosθ)^2
m>[2-cosθ)^2 ] /(2-cosθ)
设a=cosθ∈[-1,1]
则有：m>(2-a^2)/(2-a)=(a^2-2)/(a-2)=[(a-2+2)^2-2] /(a-2)
所以：m>(a-2)+4+2/(a-2)
因为：a-2<0
所以：a-2+2/(a-2)<=-2√[(a-2)*2/(a-2)]=-2√2
当且仅当a-2=2/(a-2)即a-2=-√2，a=2-√2时取得最大者-2√2
所以：m>-2√2+4

Answer 2

先令x2=0，代入原式，得到2f(x1）=2f(x1)f(0),所以f(0)=1;

然后令x1=0，代入原式得到f(x2)+f(-x2)=2f(x2),所以f(x2)=f(-x2)，所以是偶函数