Question

在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax²+4x+4a(0<a<2) (1)当C1与x轴有唯一交

点时，求C1的解析式
（2）若A（1，yA），B（0，yB），C（-1，yC）三点均在C1上，连BC，作AE∥BC交抛物线C1于E，求证：当a值变化时，E点在一条直线上
(3)若a=1，将抛物线C1先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得抛物线C2，抛物线C2与x轴相交于M,N两点（M点在N点左边），直线y=kx（k>0）与抛物线C2相交于P,Q（P在第三象限）且△NOQ的面积是△MOP的面积的4倍。求K的值。

Answer 1

解:(1) 由已知 △=16-16a^2=0 且 0<a<2
解得 a=1
所以C1的解析式是 y=x²+4x+4

(2)A(1,5a+4) B(0,4a) C(-1,5a-4) 且 0<a<2
则直线BC的方程:(a-4)x+y-4a=0
由AE//BC得直线AE的方程:(a-4)x+y-6a=0

由(a-4)x+y-6a=0 且 y=ax²+4x+4a
消去y有 -(a-4)x+6a=ax²+4x+4a (0<a<2)
x²+x-2=0
解得x=1 或x=-2
而x=1是A的横坐标,得x=-2是E的横坐标。

所以 点E在直线 x=-2上。

(3)C1按要求平移后得到C1:y=x^2-1
M(-1,0),N(1,0) 则|OM|=|ON|
设P(x1,kx1),Q(x2,kx2) (x1<0,x2>0,k>0)
由△NOQ的面积是△MOP的面积的4倍

得 kx2=4(-kx1)
即 x2=-4x1 (1)

由y=kx 且y=x^2-1消去y有
x^2-kx-1=0

有 x1+x2=k,且x1*x2=-1 且 x2=-4x1
解得 x1=-1/2,x2=2,k=3/2

所以 k=3/2

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