Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=0，n?an+1=Sn+n（n+1），（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}

已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=0，n?an+1=Sn+n（n+1），（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足an+log3n=log3bn，求数列{bn}的前n项和；（3）设Pn=a1+a4+a7+…+a3n-2，Qn=a10+a12+a14+…+a2n+8，其中n∈N*，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．

Answer 1

（1）把n=1，代入n?a_n+1=S_n+n（n+1）得：1?a₂=S₁+1=a₁+1=2+1=3，即a₂-a₁=2，
∵n?a_n+1=S_n+n（n+1）①，∴n≥2时，（n-1）?a_n=S_n-1+n（n-1）②，
①-②得：n?a_n+1-（n-1）?a_n=a_n+2n，
化简得：a_n+1-a_n=2（n≥2），
∵a₂-a₁=2，∴a_n+1-a_n=2（n∈N⁺），
即数列{a_n}是以0为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=0+2（n-1）=2（n-1）；
（2）由a_n+log₃n=log₃b_n得：b_n=n?3^2n-2（n∈N^*）
T_n=b₁+b₂+b₃++b_n=3⁰+2?3²+3?3⁴+…+n?3^2n-2，①
∴9T_n=3⁰+2?3²+3?3⁴+…+n?3²ⁿ，②
②-①得：8T_n=n?3²ⁿ-（3⁰+3²+3⁴+…+3^2n-2）=n?3²ⁿ-

32n?1

8

∴T_n=

(8n?1)32n?1

64

；
（3）∵a_n=2（n-1），
∴P_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2=

n(6n?6)

2

=n（3n-3），Q_n=a₁₀+a₁₂+a₁₄+…+a_2n+8=

n(18+4n+14)

2

=n（2n+16）
∴P_n-Q_n=n（3n-3）-n（2n+16）=n²-19n
若n²-19n＞0，即n＞19时，P_n＞Q_n；若n²-19n=0，即n=19时，P_n=Q_n；若n²-19n＜0，即1≤n＜19时，P_n＜Q_n．