Question

高等数学的极限，无穷小问题

Answer 1

首先 [√(1+xarcsinx)-√(cosx)][√(1+xarcsinx)+√(cosx)]= 1+xarcsinx-cosx
所以 f(x)=(1+xarcsinx-cosx)/[√(1+xarcsinx)+√(cosx)]
当x→0时，分母是有极限2的，所以我们考虑分子1+xarcsinx-cosx的极限就可以了
这一步把根号去掉了

当x→0时，要将函数极限与x^k比较，最好的办法是泰勒展开
只要保留第一个x项就可以了
arcsinx =x+O(*x^3);

cosx=1-x^2/2+O(x^4);

所以1+xarcsinx-cosx=1+ x(x+O(*x^3))-(1-x^2/2+O(x^4))
= (3/2)x^2+O(x^4)
因此f(x)= (1+xarcsinx-cosx)/[√(1+xarcsinx)+√(cosx)]
= [(3/2)x^2+O(x^4)]/ 2
= (3/4)x^2+O(x^4)

实际上，函数极限与x^k比较，最直接办法就是泰勒展开
这里其实是可以直接将 f(x)泰勒展开的
但是f(x)表达式比较复杂，所以第一步去除根号可以大大简化

而如果函数是由简单函数的和差积商等四则运算得到
也可以先对简单的函数泰勒展开，然后再用四则运算合成
例如x第二步中 xacrsinx 可以先计算acrsinx的泰勒展开，然后乘以x
那么泰勒展开的运算就大大简化

一些简单函数x→0时的x^k趋势是可以简单记住的，例如
sinx tanx arcsinx arctanx 这些函数和x 是等价的无穷小量
1-cosx 是和 x^2等价的无穷小量
exp(x)-1和 x等价的无穷小量
之后，处理极限问题就变得很方便