Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1（1）求f（1）、

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1（1）求f（1）、f（ 1 3 ）的值；（2）若满足f（x）+f（x-8）≤2，求x的取值范围．

Answer 1

（1）令x=y=1得：f（1?1）=f（1）+f（1）， ∴f（1）=0； 令y= 1 x ，则f（x? 1 x ）=f（x）+f（ 1 x ）=f（1）=0， ∵f（3）=1， ∴f（ 1 3 ）=-f（3）=-1； （2）∵f（9）=f（3）+f（3）=2， ∴f（x）+f（x-8）＜2?f[x（x-8）]＜f（9）， 而函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数， ∴ x＞0 x-8＞0 x(x-8)＜9 ， 解得：8＜x＜9， ∴x的取值范围是（8，9）．