Question

已知定义在（0，+∞)上的函数f（x）为单调函数，且f（x）*f（f（x）+1/x）=1.求f（1）？

Answer 1

【解】：

定义域（0，+∞)
令x=1
f(1) * f [ f(1) + 1 ] = 1
☞f [ f(1) + 1 ] = 1/ f(1)
f(1)+1作为f [ f(1) + 1 ]的自变量的一个取值，必须在定义域内
则，f(1)+1＞0
可得，f(1)＞-1

令f(1) = a （a＞-1）
则，f(a+1) = 1/a …… ①

令x=a+1（a＞-1） ，
带入f(x) * f [ f(x) +1/x ]=1
得：f(a+1)*f [ f(a+1) + 1/(a+1) ] =1 ……②
把①带入②
得：1/a * f [ 1/a + 1/(a+1) ] = 1
即，f [ 1/a + 1/(a+1) ] = a ……③
因为，a =f(1)
所以，f [ 1/a + 1/(a+1) ] = f(1)

把[ 1/a + 1/(a+1) ] 和 1 分别看作函数 f(x) 的自变量的2个取值
由于函数f(x)是单调函数，
要使对应的函数值相等
则，自变量必须相等。
所以由f [ 1/a + 1/(a+1) ] = f(1)
可得：[ 1/a + 1/(a+1) ] = 1
解得：a = (1+√5)/2 或 a = (1-√5)/2
(1+√5)/2 和 (1-√5)/2 都大于-1
两个取值都符合题意。

【综】：
f(1) = (1+√5)/2 或 f(1) = (1-√5)/2

Answer 2

是不是可以这样想
既然f（x）*f（f（x）+1/x）=1
那么f（x）可以看成一个反比例函数f（x）=k/x，
即（k/x）*（k/（k/x+1/x））=1
这样就可以求出k而f（1）就是k/1

Answer 3

f(1)=1
由题意，容易得出：f(x)<1,f(x)+1/x>1
可以得出 f(x)恒等于1
f(1)=1

Answer 4

1

Answer 5

1