Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x?y）=f（x）+f（y），若数列

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x?y）=f（x）+f（y），若数列{an}的前n项和为sn，且满足f(sn+2)?f(an)＝f(3)(n∈N*)，则an为 （　　）A．2n-1B．nC．2n-1D．(32)n?1

Answer 1

∵对任意的正数x，y都有f（x?y）=f（x）+f（y），
∵f(sn+2)?f(an)＝f(3)(n∈N*)，
∴f（s_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3?a_n）
又∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
∴s_n+2=3a_n…①
当n=1时，s₁+2=a₁+2=3a₁，解得a_n=1
当n≥2时，s_n-1+2=3a_n-1…②
①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1
即

an

an?1

＝

3

2

∴数列{a_n}是一个以1为首项，以

3

2

为公比的等比数列
∴a_n=(

3

2

)n?1
故选D