Question

已知给定函数f(x)对于任意正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1.判断f(x)在（0，+∝）单调

试判断f(x)在（0，+∝）上的单调性，并说明理由

Answer 1

这题属于比较基础的，多练练吧。
f(x)在(0,+∝)上单调减.
任取0<x1<x2,则
f(x1)=f(sqrt(x1)*sqrt(x1))=f(sqrt(x1))^2>=0,又由已知f(x1)≠0,故f(x1)>0,同理f(x2)>0.
那么，f(x2)=f(x1*x2/x1)=f(x1)*f(x2/x1),
而x1<x2即x2/x1>1,由已知f(x2/x1)<1,
而f(x1)>0,所以f(x2)=f(x1)*f(x2/x1)<f(x1),
由此得f(x)在(0,+∝)上单调减。