Question

已知（3x+x2）2n的展开式的二项式系数和比（3x-1）n的展开式的系数和大992，（1）求（x+12?4x）n展开式的

已知（3x+x2）2n的展开式的二项式系数和比（3x-1）n的展开式的系数和大992，（1）求（x+12?4x）n展开式的有理项；（2）求（x2-1x）n展开式中的系数最大的项和系数最小的项．

Answer 1

（1）由题意可得2²ⁿ-（3-1）ⁿ=992，解得2ⁿ=32，n=5．
∴（

x

+

1

2? 4 x

）ⁿ展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 5

?(

1

2

)r?x

5

2

?

3r

4

．
令

5

2

-

3r

4

 为整数，可得r=2，故（

x

+

1

2? 4 x

）ⁿ展开式的有理项为 T₃=

C

2 5

?

1

4

x=

5

2

x．
（2）求（x²-

1

x

）ⁿ=（x²-

1

x

）⁵展开式的通项公式为

C

r 5

?（-1）^r?x^10-3r，
故第r+1项的系数为

C

r 5

?（-1）^r，r=0，1，2，3，4，5，
利用二项式系数的性质可得r=2时，第r+1项的系数最大，此项即T₃=10x⁴；
检验可得r=3时，第r+1项的系数最小，此项即T₄=-10x．