Question

如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，【操作1】将三角板DEF的直角顶点E

如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．在旋转过程中，如图2，当CEEA＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明．【操作2】在旋转过程中，如图3，当CEEA＝2时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由．【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出CEEA＝m当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明）m．

Answer 1

（操作1）EP=EQ，
证明：连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°，
∵∠BEC=∠FED=90°
∴∠BEP=∠CEQ，
在△BEP和△CEQ中

∠BEP＝∠CEQ BE＝CE ∠PBE＝∠C

，
∴△BEP≌△CEQ（ASA），
∴EP=EQ；

如图2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，
理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，
∴∠EMP=∠ENC，
∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，
∴∠MEP=∠NEF，
∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；
如图3，过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，
∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，
∴∠EPB+∠EQB=180°，
又∵∠EPB+∠MPE=180°，
∴∠MPE=∠EQN，
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，
∴

EP

EQ

=

ME

EN

，
Rt△AME∽Rt△ENC，
∴

CE

EA

=m=

EN

ME

，
∴

EP

EQ

=1：m=

AE

CE

，
EP与EQ满足的数量关系式1：m，即EQ=mEP，
∴0＜m≤2+

6

，（因为当m＞2+

6

时，EF和BC变成不相交）．