（文）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC1（Ⅱ）求二面角C1-
（文）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC1（Ⅱ）求二面角C1-AB-C的正切值（Ⅲ）求点B到平面A...
（文）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC1（Ⅱ）求二面角C1-AB-C的正切值（Ⅲ）求点B到平面AB1C1的距离．
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解答：（文）（Ⅰ）证明：
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知A（2，0，0），B1（0，2，2），
B（0，2，0），C1（0，0，2），
=（-2，2，2），
=（0，-2，2），
?
=0-4+4=0，
∴AB1⊥BC1．
（Ⅱ）解：
=(2，0，-2)，
=(0，2，-2)，
设平面ABC1的法向量
=（x，y，z），
则
，取x=1，得
=（1，1，1），
又平面ABC的法向量
=（0，0，1），
设二面角C1-AB-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜
，
＞|=|
|=
，
∴tanθ=
．
∴二面角C1-AB-C的正切值为
．
（Ⅲ）解：
=（2，0，2），
=（-2，2，2），
设平面AB1C1的法向量
=（a，b，c），
则
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意知A（2，0，0），B1（0，2，2），
B（0，2，0），C1（0，0，2），
| AB1 |
| BC1 |
| AB1 |
| BC1 |
∴AB1⊥BC1．
（Ⅱ）解：
| C1A |
| C1B |
设平面ABC1的法向量
| n |
则
|
| n |
又平面ABC的法向量
| m |
设二面角C1-AB-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜
| n |
| m |
| 1 | ||
|
| ||
| 3 |
∴tanθ=
| 2 |
∴二面角C1-AB-C的正切值为
| 2 |
（Ⅲ）解：
| AC1 |
| AB1 |
设平面AB1C1的法向量
| p |
则
|
