Question

设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数．（1）求b、c的值；（2）求g（x）

设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数．（1）求b、c的值；（2）求g（x）极值．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²+2bx+c，g（x）=f（x）-f′（x）=x³+bx²+cx-3x²-2bx-c=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c，
因为g（x）为奇函数，所以g（-x）=-g（x），
即-x³+（b-3）x²-（c-2b）x-c=-[x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c]，
也即2（b-3）x²=2c，
所以b=3，c=0．
（2）由（1）知，g（x）=x³-6x，
g′（x）=3x²-6=3（x+

2

）（x-

2

），令g′（x）=0，得x=-

2

或x=

2

，
当x＜-

2

或x＞

2

时，g′（x）＞0，当-

2

＜x＜

2

时，g′（x）＜0，
所以g（x）在（-∞，-

2

），（

2

，+∞）上单调递增，在（-

2

，

2

）上单调递减，
所以当x=-

2

时，g（x）取得极大值g（-

2

）=4

2

；当x=

2

时，g（x）取得极小值g（

2

）=-4

2

．