Question

数列{an}满足a1=1，a2=3，且an+2=（1+2|cosnπ2|）an+|sinnπ2|，（n∈N+）（1）证明：数列{a2k}（k∈N+

数列{an}满足a1=1，a2=3，且an+2=（1+2|cosnπ2|）an+|sinnπ2|，（n∈N+）（1）证明：数列{a2k}（k∈N+）为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求数列{an}的前n项和．

Answer 1

（1）证明：设n=2k，k∈N^*，
∵a_n+2=（1+2|cos

nπ

2

|）a_n+|sin

nπ

2

|，（n∈N₊），
又a₂=3，
∴

a2k+2

a2k

=3．
∴当k∈N^*时，数列{a_2k}为等比数列．
∴a_2k=a₂?3^k-1=3^k．
（2）解：设n=2k-1，k∈N^*．
由a_2k+1=（1+2|cos

(2k?1)π

2

|）a_2k-1+|sin

(2k?1)π

2

|=a_2k-1+1，
∴a_2k+1-a_2k-1=1．
∴当k∈N^*时，数列{a_2k-1}为等差数列．
∴a_2k-1=a₁+（k-1）?1=k．
∴an =

3 n 2 ，n是偶数 n+1 2 ，n是奇数

．
（3）解：设数列{a_n}的前n项和为Tn ．
由（2）知：
当n为奇数时，T_n=a1 +a2+a3+…+an?1+an
=1+3+2+3²+3+3³+4+3⁴+…+3

n?1

2

+

n+1

2

=（1+2+3+4+…+

n+1

2

）+（3+3²+3³+3⁴+…+3

n?1

2

）
=

n+1 2 (1+ n+1 2 )

2

+

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