Question

设f（x）在[a，+∞）上单调递减，且无穷限积分+∞af（x）dx收敛．（1）证明f（x）≥0，x∈[a，+∞）；（2

设f（x）在[a，+∞）上单调递减，且无穷限积分+∞af（x）dx收敛．（1）证明f（x）≥0，x∈[a，+∞）；（2）证明f（x）=o（1x）（x→+∞）．

Answer 1

证：（1）不妨设f（x）在[a，+∞）单调减少，若f（x）≤0（x∈[a，+∞））．
则?x₁≥a，使f（x₁）＜0，则?x＞x₁，有f（x）≤f（x₁）＜0．
从而?p＞x₁，有

∫

p x1

f(x)dx≤

∫

p x1

f(x1)dx＝f(x1)(p?x1)→?∞(p→+∞)，
与

∫

+∞ a

f(x)dx收敛矛盾．
故f（x）≥0（x∈[a，+∞））．
（2）由

∫

+∞ a

f(x)dx收敛知

lim

x→+∞

∫

x x 2

f(t)dt＝0．
再由（1）得
0≤

x

2

f(x)≤

∫

x x 2

f(t)dt，我们有

lim

x→+∞

x

2

f(x)＝0，
故

lim

x→+∞

xf(x)＝0，即f(x)＝o(

1

x

)(x→+∞)．