Question

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG．（1）如图1，则线段EG和C

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG．（1）如图1，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？（2）如图2，将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图3，将△BEF绕点B逆时针旋转180°，则（1）中的结论还成立吗？如果成立请选择三图中任一图加以证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

解答：（1）EG=CG，且EG⊥CG．
证明：过GH⊥AB于点H，延长HG交CD于点I，作GK⊥AD于点K．
则四边形GIDK是正方形，四边形AKGH是矩形，
∴AK=HG，KD=DI=GI=AH，
∵AD=CD，
∴IC=HG，
∵AD∥GH∥EF，G是DF的中点，
∴HA=HE，
∴HE=GI，
∵在Rt△HGE和Rt△ICG中，

HE＝GI ∠GHE＝∠CIG HG＝IC

，
∴Rt△HGE≌Rt△ICG（SAS），
∴EG=CG，∠HGE=∠GCI，∠HEG=∠CGI，
∴∠HGE+∠CGI=90°，
∴∠EGC=90°，
∴EG⊥CG；

（2）成立．  
证明：图2中，作GH⊥BC，
则EF∥GH∥CD，
又∵G是DF的中点，
∴EH=CH，
则GH是BC的中垂线，
∴GE=CG，
∵EF=EB，BC=CD
∴EF+CD=EC，
∵G是DF的中点，EH=CH，
则GH=

1

2

（EF+CD），
∴GH=

1

2

EC，
∴△EGC是等腰直角三角形，
∴EG=CG，且EG⊥CG；
图3中，延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（2）可知，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
又∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形
∴BE=EF，∠F=45°．
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG
∴MG=

1

2

FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴EF+EM=CM+DC，
即FM=DM，
又∵FG=DG，
∠CMG=

1

2

∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∵在△GFE和△GMC中，

FG＝MG ∠F＝∠GMC EF＝CM

，
∴△GFE≌△GMC（SAS）．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．         
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．