Question

根据开普勒行星运动定律，行星以太阳为圆心做匀速圆周运动．若行星的质量为m，速度为v，行星与太阳之间的

根据开普勒行星运动定律，行星以太阳为圆心做匀速圆周运动．若行星的质量为m，速度为v，行星与太阳之间的距离为r，试推导太阳对行星的引力F与mr2的正比关系．

Answer 1

设行星的质量为m，太阳质量为M，行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R，公转周期为T，太阳对行星的引力为F．
太阳对行星的引力提供行星运动的向心力F=m（

2π

T

）²r=

4π2m

T2

r
根据开普勒第三定律

r3

T2

＝k得：T²=

r3

k

故F=4π2k

m

r2

∝

m

r2

答：故太阳队行星的引力F与

m

r2

成正比．

Answer 2

开普勒第一定律（轨道定律）：每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。开普勒第二定律（面积定律）：从太阳到行星所联接的直线在相等时间内扫过同等的面积。用公式表示为：sab=scd=sek简短证明：以太阳为转动轴，由于引力的切向分力为0，所以对行星的力矩为0，所以行星角动量为一恒值，而角动量又等于行星质量乘以速度和与太阳的距离，即l=mvr,其中m也是常数，故vr就是一个不变的量，而在一短时间△t内，r扫过的面积又大约等于vr△t/2,即只与时间有关，这就说明了开普勒第二定律。开普勒第三定律（周期定律）：所有的行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。用公式表示为：r^3/t^2=k其中，r是行星公转轨道半长轴，t是行星公转周期，k=gm/4π^2=常数关于行星运动规律的开普勒三大定律是：①所有的行星分别在不同的椭圆轨道上围绕太阳运动,太阳处在这些椭圆的一个焦点上.②对每个行星而言,行星和太阳的连线在任意相等的时间内扫过的面积都相等("面积速度"不变).③所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等.也统称“开普勒三定律”，也叫“行星运动定律”，是指行星在宇宙空间绕太阳公转所遵循的定律。由于是德国天文学家开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过他本人的观测和分析后，于1609～1619年先后早归纳提出的，故行星运动定律即指开普勒三定律。开普勒第二定律具体内容开普勒在1609年发表了关于行星运动的两条定律：开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律（面积定律）：对于任何一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。用公式表示为：sab=scd=sek简短证明：以太阳为转动轴，由于引力的切向分力为0，所以对行星的力矩为0，所以行星角动量为一恒值，而角动量又等于行星质量乘以速度和与太阳的距离，即l=mvr,其中m也是常数，故vr就是一个不变的量，而在一短时间△t内，r扫过的面积又大约等于vr△t/2,即只与时间有关，这就说明了开普勒第二定律。1609年，这两条定律发表在他出版的《新天文学》。1619年，开普勒又发现了第三条定律：开普勒第三定律（周期定律）：所有的行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。用公式表示为：r^3/t^2=k其中，r是行星公转轨道半长轴，t是行星公转周期，k=gm/4π^2=常数

设行星的质量为m，太阳质量为M，行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R，公转周期为T，太阳对行星的引力为F．
太阳对行星的引力提供行星运动的向心力F=m（
2π
T
）2r=
4π2m
T2
r
根据开普勒第三定律
r3
T2
＝k得：T2=
r3
k

故F=4π2k
m
r2
∝
m
r2

答：故太阳队行星的引力F与
m
r2
成正比．

Answer 3

设行星的质量为m，太阳质量为M，行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R，公转周期为T，太阳对行星的引力为F．
太阳对行星的引力提供行星运动的向心力F=m（
2π
T
）2r=
4π2m
T2
r
根据开普勒第三定律
r3
T2
＝k得：T2=
r3
k

故F=4π2k
m
r2
∝
m
r2

答：故太阳队行星的引力F与
m
r2
成正比．