Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，对于任意的实数x1、x2（x1≠x2），都有f(x1)+f(x1)2＞f(x1+x22)成立，且f

已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，对于任意的实数x1、x2（x1≠x2），都有f(x1)+f(x1)2＞f(x1+x22)成立，且f（x+2）为偶函数．（1）证明：实数a＞0； （2）求实数a与b之间的关系；（3）定义区间[m，n]的长度为n-m，问是否存在常数a，使得函数y=f（x）在区间[a，3]的值域为D，且D的长度为10-a3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）因为对于任意的实数x₁、x₂（x₁≠x₂），都有

f(x1)+f(x1)

2

＞f(

x1+x2

2

)成立，
所以函数f（x）下凹函数，
所以结合而二次函数的性质可得：实数a＞0．
（2）因为f（x+2）为偶函数，
所以函数f（x+2）的对称轴是y轴．
又因为y=f（x+2）的图象沿x轴向右平移两个单位即可得到函数y=f（x）的图象，
所以函数y=f（x）图象的对称轴为x=2，即函数f（x）关于x=2对称，
所以由二次函数的性质可得：?

b

2a

＝2，即4a+b=0，
所以实数a与b之间的关系为：4a+b=0．
（3）由（2）可得：f（x）=ax²-4ax+1=a（x-2）²+1-4a，
当0＜a≤1时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a²+1，
所以f（x）_max-f（x）_min=a³-4a²+1-（1-4a）=a（a-2）²，
由0＜a≤1时，1≤（a-2）²＜4，则a（a-2）²＜4，而10-a³＞9，不合题意；
当1＜a＜2时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=1-3a，
所以f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（1-4a）=a，
由1＜a＜2，得10-a³＞2，所以a≠10-a³，不合题意；
当2≤a＜3时，f（x）m_in=a³-4a²+1，f（x）_max=1-3a，
所以f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（a³-4a²+1）=10-a³，
故4a²-3a-10=0，（4a+5）（a-2）=0，
因为2≤a＜3，
所以a=2．
综上所述：存在常数a=2符合题意．