Question

设函数f(x)=x^3-3ax+b(a不等于0)当b=3时,若过点(-2,1)可作曲线y=f(x)

设函数f(x)=x^3-3ax+b(a不等于0)当b=3时,若过点(-2,1)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数a的取值范围

Answer 1

答：
当b=3时：
f(x)=x^3-3ax+b=x^3-3ax+3
求导：
f'(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)
设切点为(m，m^3-3am+3)
过点(-2,1)切线斜率：
k=f'(m)=3(m^2-a)=(m^3-3am+3-1) /(m+2)
存在3个不同的值
所以：
3(m^2-a)(m+2)=m^3-3am+2
整理得：
3a=m^3+3m^2-1
g(m)=m^3+3m^2-1
g'(m)=3m^2+6m=3m(m+2)
-2<m<0，g'(m)<0，g(m)单调递减
极大值g(-2)=3，极小值g(0)=-1
依据题意有：
-1<3a<3
解得：-1/3<a<1

Answer 2

f(x)=x^3-3ax+3

f'(x)=3x^2-3a
设过点(-2,1)的y=f(x)切线的切点横坐标为x
则切线斜率为3x^2-3a
所以(x^3-3ax+3-1)/(x+2)=3x^2-3a
x^3-3ax+2=3x^3-3ax+6x^2-6a
2x^3+6x^2-6a-2=0
x^3+3x^2-3a-1=0
根据题意，上述一元三次方程需有三个不相同的实数根
判别式：A=9 B=9(3a+1) C=9(3a+1)
△=B^2-4AC<0
[9(3a+1)]^2-4*9*[9(3a+1)]<0
(3a+1)^2-4(3a+1)<0
(3a+1)(3a-3)<0
(3a+1)(a-1)<0
-1/3<a<1
所以当-1/3<a<1时，过点(-2,1)可作曲线y=f(x)的三条切线