Question

已知函数f(x)=1/2ax^2+2x-lnx 若f(x)在区间[1/3,2]上是增函数,求实数a的取值范围 过程.谢谢

Answer 1

f(x)=1/2ax^2+2x-lnx 若f(x)在区间[1/3,2]上是增函数
所以f(x)导数大于0在[1/3,2]上恒成立
f(x)导数=ax+2-1/x=(ax^2+2x-1)/x>0
x>0
所以ax^2+2x-1>0在[1/3,2]上恒成立 令g(x)=ax^2+2x-1
a=0时不符合
a<0时,只要g(1/3)>0
g(2)>0
解得a>3 又a<0
所以舍去
a>0时，对称轴为x=-1/a<0
所以g(x)最小值为g(1/3)>0
a>3
综上：a>3

Answer 2

f'(x)=ax-1/x+2 f(x)在区间[1/3,2]上是增函数
∴f'(x）≥0在[1/3,2]恒成立，
即ax-1/x+2 ≥0在[1/3,2]恒成立
∵x＞0 ∴上式化成
ax²+2x-1 ≥0 在[1/3,2]恒成立
显然a≠0 否则式子不成立
当a＞0 g（x）=ax²+2x-1 开口向上，∴只要g（1/3）≥0 且对称轴x= -1/a≤1/3或g（2）≥0 且对称轴x= -1/a≥2
当a＜0 的情况就自己讨论吧，，我不做了