Question

如图,⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A. （1）求证：BC为⊙O的切线；（2）求∠B的度数

如图,⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A. （1）求证：BC为⊙O的切线；（2）求∠B的度数．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）∠ABC =60°．

试题分析：（1）连结OA、OB、OC、BD,根据切线的性质得OA⊥AB,即∠OAB=90°,再根据菱形的性质得BA=BC,然后根据“SSS”可判断△ABO≌△CBO,则∠BCO=∠BAO=90°,于是可根据切线的判定方法即可得到结论； （2）由△ABO≌△CBO得∠AOB=∠COB,则∠AOB=∠COB,由于菱形的对角线平分对角,所以点O在BD上,利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD,则∠BOC=2∠ODC,由于CB=CD,∠OBC=∠ODC,所以∠BOC=2∠OBC,根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°,然后利用∠ABC=2∠OBC计算． 试题解析：（1）连结OA、OB、OC、BD,如图, ∵AB与⊙O切于A点, ∴OA⊥AB,即∠OAB=90°, ∵四边形ABCD为菱形, ∴BA=BC, 在△ABO和△CBO中 , ∴△ABO≌△CBO（SSS）, ∴∠BCO=∠BAO=90°, ∴OC⊥BC, ∴BC为⊙O的切线； （2）∵△ABO≌△CBO, ∴∠AOB=∠COB, ∵四边形ABCD为菱形, ∴BD平分∠ABC,DA=DC, ∴点O在BD上, ∵∠BOC=∠ODC+∠OCD,OD=OC, ∴∠ODC=∠OCD, ∴∠BOC=2∠ODC, 同理：∠BOC=2∠OBC, ∵∠BOC+∠OBC=90°, ∴∠OBC=30°, ∴∠ABC=2∠OBC=60°．