Question

函数f=（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜π2）部分图象如图所示．（1）求的最小周期及解析式．

函数f=（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜π2）部分图象如图所示．（1）求的最小周期及解析式．（2）设g（x）=f（x）-2cos2x，求函数g（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）由图可得A=2，

T

2

＝

2π

3

?

π

6

＝

π

2

，所以T=π．
因为T＝

2π

ω

所以ω=2．                              …（2分）
当x＝

π

6

时，f（x）=2，可得 2sin(2?

π

6

+φ)＝2，
因为|φ|＜

π

2

，所以φ＝

π

6

．           …（4分）
所以f（x）的解析式为f(x)＝2sin(2x+

π

6

)．   …（5分）
（2）g(x)＝f(x)?2cos2x＝2sin(2x+

π

6

)?2cos2x
=2sin2xcos

π

6

+2cos2xsin

π

6

?2cos2x
=

3

sin2x?cos2x…（8分）
=2sin(2x?

π

6

)．              …（10分）
因为x∈[0，

π

2

]，所以?

π

6

≤2x?

π

6

≤

5π

6

．
当2x?

π

6

＝

π

2

，即x=

π

3

时，函数g（x）有最大值，最大值为：2     …（12分）
当2x?

π

6

＝?

π

6

，即x=0时，函数g（x）有最小值，最小值为-1．…（13分）