Question

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为棱BC，B1C1的中点．求证：（Ⅰ）平面ADC1⊥平面BCC1B1；（

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为棱BC，B1C1的中点．求证：（Ⅰ）平面ADC1⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）直线A1D1∥平面ADC1．

Answer 1

证明：（Ⅰ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥底面ABC，又AD?底面ABC
∴AD⊥CC₁…（2分）
∵点D为棱BC的中点∴AD⊥BC，…（4分）CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁CC₁∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁…（6分）
又∵AD?平面ADC₁∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁…（7分）
（Ⅱ）证明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥底面ABC，又AD?底面ABC
∴AD⊥CC₁…（9分）
∵点D为棱BC的中点，
∴AD⊥BC，…（10分）
CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，CC₁∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁…（11分）
又∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁…（12分）