Question

如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．（1）求证：直线EF∥面ACD；（2）求证

如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．（1）求证：直线EF∥面ACD；（2）求证：平面EFC⊥面BCD；（3）若面ABD⊥面BCD，且AD=BD=BC=1，求三棱锥B-ADC的体积．

Answer 1

证明：（1）∵EF是△BAD的中位线
所以EF∥AD（2分）
又EF?平面ACD，AD?平面ACD
∴EF∥平面ACD（4分）
（2）∵EF∥AD，AD⊥BD
∴BD⊥EF，
又∵BD⊥CF∴BD⊥面CEF，
又BD?面BDC
∴面EFC⊥面BCD（10分）
（3）因为面ABD⊥面BCD，且AD⊥BD
所以AD⊥面BCD
由BD=BC=1和CB=CD得△BCD是正三角形
所以S△BCD＝

1

2

×1×

3

2

＝

3

4

VB?ACD＝VA?BCD＝

1

3

S△BCD?AD＝

1

3

×

3

4

×1＝

3

12

（14分）