Question

已知函数f（x）=x2+ax+3．（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a

已知函数f（x）=x2+ax+3．（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．（3）若对一切a∈[-3，3]，不等式f（x）≥a恒成立，那么实数x的取值范围是什么？

Answer 1

（1）f（x）≥a即x²+ax+3-a≥0，
要使x∈R时，x²+ax+3-a≥0恒成立，
应有△=a²-4（3-a）≤0，
即a²+4a-12≤0，
解得-6≤a≤2；
（2）当x∈[-2，2]时，令g（x）=x²+ax+3-a，
当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，
转化为g（x）_min≥a，
分以下三种情况讨论：
①当?

a

2

≤?2即a≥4时，g（x）在[-2，2]上是增函数，
∴g（x）在[-2，2]上的最小值为g（-2）=7-3a，
∴

a≥4 7?3a≥0

，解得a无解，
②当 ?

a

2

≥2即a≤-4时，g（x）在[-2，2]上是递减函数，
∴g（x）在[-2，2]上的最小值为g（2）=7+a，
∴

a≤?4 7+a≥0

，解得-7≤a≤-4，
③当?2＜?

a

2

＜2即-4＜a＜4时，g（x）在[-2，2]上的最小值为g（-

a

2

）=-

a2

4

-a+3，
∴

?4＜a＜4 ? a2 4 ?a+3≥0

，解得-4＜a≤2，
综上所述，实数a的取值范围是-7≤a≤2；
（3）不等式f（x）≥a即x²+ax+3-a≥0．
令h（a）=（x-1）a+x²+3，
要使h（a）≥0在[-3，3]上恒成立，
只需

h(?3)≥0 h(3)≥0

，即

x2?3x+6≥0 x2+3x≥0

，
解得x≥0或x≤-3，
∴实数x的取值范围是x≥0或x≤-3．