Question

已知函数f（x）=lg(ax^2+x+1) 求（1）当f（x）的值域为R时，实数a的取值范围；（2）当f（x）的定义域为R时

已知函数f（x）=lg(ax^2+x+1) 求（1）当f（x）的值域为R时，实数a的取值范围；（2）当f（x）的定义域为R时，实数a的取值范围。

Answer 1

解:令h(x)=ax^2+x+1
（1）值域为R意味着h(x)可以取到（0,+∞)间的任何值
i)a=0,h(x)=x+1 可以取到（0,+∞)间的任何值
ii)a>0,只需△≥0即可
即1-4a≥0 a∈(0,1/4]
iii)a<0,此时h(x)不能取到（0,+∞)间的任何值
综上a∈[0,1/4]

(2)定义域为R，h(x)>0恒成立
i)a=0,不符合题意
ii)a≠0
必须满足 a>0,△<0
即a∈(1/4,+∞）

Answer 2

这个题的第一问曾经令很多人纠正。

先回答第一问。要x∈R，则真数对于任意的x∈R必须为正，则抛物线一定要开口向上，不能与x轴有交点，这样用△<0，（无解），解出a的范围就可以了。

第二问。要是值域为R,根据对数图像，真数必须能取到(0,+∞)，也就是抛物线开口也要向上，且抛物线必须与x相交或相切。△>=0.

两种情况下均要先讨论a=0是否满足题意。

如果还不懂，baidu HI

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补充，二楼判别式正好写反了。哈哈。
第一问，△>=0，真数可能取不到(0,+00)之间的任意值。
第二问，x在一部分区间对应的函数值为负数，也就真数为负数，这部分区间不能包含在定义域内，因此取不到所有的R

Answer 3

当f（x）的值域为R时, 只需g(x)=ax^2+x+1的值域包含(0, +∞)

a=0可以, 当a≠0时, 只有a>0 且判别式1-4a≥0

综上有0≤a≤1/4

当f（x）的定义域为R时 ,只有a>0 且判别式1-4a<0 所以有a>1/4

Answer 4

(1)a∈(0,1/4)
(2)a∈[0,1/4]