几道数学题，高手进
设向量OE=u向量OA，求u
2.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，他们的夹角为120°。如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上边动。若向量OC=x向量OA+y向量OB，其中x，y∈R
（1）若x=（2√3）/3，y=（√3）/3，求∠COA的大小
（2）求x+y的最大值
还有个图 展开
1.此题是一个很典型的向量题，解此类向量题目有一个比较好的方法就是利用向量的以下两个性质：（1）在平面中选定不平行的两个非零向量作为基向量，那么平面中的任何一个向量都可以用这两个基向量表示出来；（2）三点如果共线，那么它们构成的向量是平行的，一个向量可以用另一个向量和一个数相乘的方式表示。
具体到此题，我们选择BO向量的1/3为一个基向量，记作a向量，以BC向量的1/2为另一个基向量，记作b向量；则有：
OA向量=b向量-3a向量；
OC向量=2b向量-3a向量；
OE向量=uOA向量=ub向量-3ua向量；
图中D,E,C三点共线，我们用基向量a和b将DC向量和EC向量表示出来，则这两个向量应该平行；
DC向量=DO向量+OC向量=2a向量+2b向量-3a向量=2b向量-a向量；
EC向量=EO向量+OC向量=3ua向量-ub向量+2b向量-3a向量=(3u-3)a向量+（2-u）b向量；
令DC向量=λEC向量，则有：
-1=λ(3u-3) 【a向量系数相等】
2=λ(2-u) 【b向量系数相等】
解二元二次方程组得：u=4/5
2.此题甚易，就是解三角形了。
（1）此时OC是以xOA=(2√3)/3,yOB=(√3)/3为一组邻边的平行四边形的对角线，延长线段OA至A'，使OA'=xOA=(2√3)/3，在三角形OA'C中，OA'=2A'C，∠A'=60°，很显然三角形OA'C是直角三角形，且∠COA=30°
（2）对于AB弧上任意的C点，过C作OB的平行线交OA或OA的延长线于A'，则有：
OC=1；OA'=x；CA'=y; 且A'=60°所以这个问题就转化为在三角形OA'C中，两边长分别为x,y，夹角为60°，对边为1，求x+y的最大值。
此时利用余弦定理可得：cos60°=(x^2+y^2-1)/2xy；
化简得：xy=[(x+y)^2-1]/3
因为此题中x,y只可能为正数，所以有x+y>=2√xy（当且仅当x=y时取等号）
变型得：(x+y)^2>=4xy=4/3[(x+y)^2-1]
化简得：（x+y）^2<=4（当且仅当x=y时取等号）
所以，当x=y=1,即∠COA=60°时x+y可以取得最大值为2
此题确是好题，没有为楼主画图，请楼主自己动笔，希望能解楼主之疑。
第二种方法
第一题
作辅助线DF，DF与BC平行。
那么OF/OA=OD/OB=2/3
又三角形OEF相似于CEA
EF/AE=DF/AC=2/3
所以OE=OF+FE=OF+2AE/3=2OA/3 +2/3(OA-OE)
那么OE/OA=4/5=u
第二题
1、 如图做辅助线，CD平行OB，CE垂直OA，那么<CAO=60
OD=（2√3）/3，AC=（√3）/3
在直角三角形CDE中，可求得DE=√3/6 CE=1/2
那么 OE=OD-DE=√3/2
在直角三角形OCE中 CE=1/2，OE=√3/2，OC=1
所以，<COA=30度
2、 辅助线如第一问 (方法与第一问完全一样)
OD=x，AC=y
那么DE=y/2 CE=(√3/2)y OE=x-(1/2)y
在直角三角形OCE中 EC^2+OE^2=OC^2
[(√3/2)y]^2+ [x-(1/2)y]^2=1
X^2+Y^2-xy=1>=(x^2+y^2)/2>=(x+y)^2/4
所以x+y<=2
当且仅当x=y=1时等号成立
注：一般大题的第一问是一个特例，第二问是未知数标的泛数，遇到这种情况时，第一问的解题方法通常适用于第二问，只不过用未知数代替实数罢了。
