Question

请问一个导数问题

limΔx→0cos(x+Δx/2)•limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 为什么不等于2cosx。
因为Δx/2无限趋近于0，sin(Δx/2)也无限于0，所以可为1。但Δx也趋近于0，可直接约去它与sin(Δx/2)，从而可把2提上去，便可成为2cosx是吗？请帮我解答一下这一困惑，谢谢。
它难了我多天了

Answer 1

不能的！就算再小，Δx与Δx/2还是相差2倍！

在Δx→0时，设S=sin(Δx/2)-Δx/2
其中S是(Δx/2)高阶无穷小，表示S比(Δx/2)仍小得太多！故可以忽略不计！

但Δx/2与Δx相比，你认为也相差很多吗？
实际是后者明明是前者的2倍，你怎么能认为相差太多呢？

举个最简单的例子：
Δx=0.00001;Δx/2=0.000005
S可能＝0.000000001
（S/Δx）可以忽略不计，但Δx/(Δx/2)=2,2是一个常数，你就不能忽略不计！

Answer 2

当Δx→0时，sin(Δx/2)与(Δx/2)等价，所以有
limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=1，
不能直接把Δx与sin(Δx/2)约去。

Answer 3

lim =sin(Δx/2)/(Δx/2)
Δx→0

用x替代Δx/2，Δx→0时Δx/2→0，所以上面的式子可以写成
lim =sin x / x
x→0
你们应该知道此极限为1，不用解释了吧