Question

求证f（x）＝x³＋x在R上递增

Answer 1

方法一、导数法
因为f(x)=x³+x
所以f`(x)=3x²+1>0
所以f(x)=x³+x在R上是递增的
方法二、定义法
任取x1、x2∈R且x1>x2
于是f(x1)-f(x2)=x1³+x1-x2³-x2=(x1-x2)(x1²-x1x2+x2²+1)
=(x1-x2)[(x1²-(1/2)x2)²+(3/4)x2²+1]>0
f(x)=x³+x在R上是递增的

Answer 2

令x1,x2∈R且x1>x2
f（x1）=x1^3+x1
f（x2）=x2^3+x2
f（x1）-f（x2）=x1^3+x1-x2^3-x2
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)+（x1-x2）
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2+1)>0
又因为x1>x2
所以
f(x)=x³+x在R上为增函数