一道数学题 求详解
长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长分别为AA1=2AB=3AD=4则顶点A1到直线BD的距离为多少？...
长方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长分别为AA1=2 AB=3 AD=4 则顶点A1到直线BD的距离为多少？
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先求A到BD的距离，设垂足为E，
则AE=AB*AD/BD=3*4/5=2.4
所以所求距离=A1E=（AA1^2+AE^2)^0.5=(2^2+2.4^2)^0.5=2*(61^0.5)/5
则AE=AB*AD/BD=3*4/5=2.4
所以所求距离=A1E=（AA1^2+AE^2)^0.5=(2^2+2.4^2)^0.5=2*(61^0.5)/5
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解：易得
BD=√（AD²+AB²）=5
A1B=√（AB²+AA1²）=√13
A1D=√（AD1²+DD1²）=2√5
在△A1BD中
过A1做A1E⊥BD于E
则A1E即为所求
而cos∠BA1D=（A1B²+A1D²-BD²）/（2A1B×A1D）=2/√65
∴sin∠BA1D=8/√65
∴S△BA1D=1/2×A1B×A1D×sin∠BA1D=8
又S△BA1D=1/2×BD×A1E
∴1/2×5×A1E=8
解得A1E=16/5
BD=√（AD²+AB²）=5
A1B=√（AB²+AA1²）=√13
A1D=√（AD1²+DD1²）=2√5
在△A1BD中
过A1做A1E⊥BD于E
则A1E即为所求
而cos∠BA1D=（A1B²+A1D²-BD²）/（2A1B×A1D）=2/√65
∴sin∠BA1D=8/√65
∴S△BA1D=1/2×A1B×A1D×sin∠BA1D=8
又S△BA1D=1/2×BD×A1E
∴1/2×5×A1E=8
解得A1E=16/5
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