Question

求点P(3,-1,2)到直线x+y-z+1=0,2x-y+z-4=0的距离

Answer 1

求点P(3,-1,2)到直线L: x+y-z+1=0,2x-y+z-4=0的距离.
解：x+y-z+1=0..........①；2x-y+z-4=0............②
令x=1；代入①②都得y-z=-2；因此可在直线L上取M(1，-2，0)和N(1，2，4)两点，
那么直线的方向数为{1-1，2+2，4-0}={0，4，4}
故直线L的标准方程为：(x-1)/0=(y+2)/4=(z-0)/4；即(x-1)/0=(x+2)/4=z/4..........③
过P(3，-1，2)作平面α垂直于直线L，那么可取直线L的方向数作为平面α的法向矢量，
故平面α的方程为：0(x-3)+4(y+1)+4(z-2)=4y+4z-4=0；即y+z-1=0.............④
下面求出L与平面α的交点的坐标：令(x-1)/0=(y+2)/4=z/4=t；则直线L的参数方程为：
x=1；y=4t-2；z=4t；代入α的方程④，得8t-3=0；故t=3/8;
于是得x=1；y=(3/2)-2=-1/2；z=3/2；即直线L与平面α的交点Q(1，-1/2，3/2);
∴点P与直线L的距离h=∣PQ∣=√[(3-1)²+(-1+1/2)²+(2-3/2)²]=√[4+(1/4)+(1/4)]
=√(18/4)=(3/2)√2.

Answer 2

令z=0则x+y+1=0,2x-y-4=0
解得x=1，y=-2
所以直线上一点M(1.-2.0)
所以PM(-2.-1.-2)
因为直线.....=0,所以n1(1，1，-1)，n2(2，-1，1)
所以v=n1×n2=(2，-3，-3)
所以距离d=|pm×v|/|v|=5√22/22

Answer 3